סכום זוויות במשולש וזווית חיצוניתגאומטריה 571 · שיעור 4
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 4: סכום זוויות במשולש וזווית חיצונית
פרק 2 · משולשים
1סכום הזוויות במשולש: 180 מעלות (עם הוכחה)
2זווית חיצונית, וסכום הזוויות במצולע
35 תרגילים פתורים, מהקל ועד תרגיל מורכב
משפט + הוכחה
סכום הזוויות במשולש
מעבירים דרך A ישר DE ∥ BC
קו עזר
∢DAB = ∢B
זוויות מתחלפות בין המקבילים DE ∥ BC
∢EAC = ∢C
זוויות מתחלפות בין המקבילים DE ∥ BC
∢DAB + ∢BAC + ∢EAC = 180
שלוש הזוויות יוצרות יחד את הישר DE (זווית שטוחה)
∢B + ∢BAC + ∢C = 180
מציבים את שתי השורות הראשונות
📐 משפט: סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
📐 כלל
קו עזר: דרך נקודה מותר להעביר ישר המקביל לישר נתון
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
📐 כלל
אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
משפט + הוכחה
זווית חיצונית למשולש
מאריכים את BC עד D. הזווית ∢ACD היא זווית חיצונית למשולש
∢ACB + ∢ACD = 180
זוויות צמודות
∢A + ∢B + ∢ACB = 180
סכום הזוויות במשולש
∢ACD = ∢A + ∢B
בשני הסכומים יש ∢ACB, והסכום 180. לכן מה שנשאר שווה
📐 משפט: זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה
📐 משפט
סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות
∢1 + ∢2 = 180
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
משפט
סכום הזוויות במצולע
מקדקוד A מעבירים את כל האלכסונים
קו עזר
המחומש מתחלק ל־3 משולשים
במצולע עם n צלעות: n − 2 משולשים
סכום הזוויות: 3 · 180 = 540
בכל משולש 180 מעלות
📐 משפט: סכום הזוויות במצולע קמור עם n צלעות הוא (n − 2) · 180
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
תרגיל 1 · סכום זוויות · קל
במשולש ABC נתון: ∢A = 50 , ∢B = 70
מצאו את ∢C
מצאו את ∢C
∢A = 50 , ∢B = 70
נתון
∢A + ∢B + ∢C = 180
סכום הזוויות במשולש
50 + 70 + ∢C = 180
מציבים את הנתונים
120 + ∢C = 180
מחברים: 50 + 70 = 120
∢C = 180 − 120 = 60
מעבירים את 120 לאגף השני
✅ פתרון סופי: ∢C = 60 מעלות
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
תרגיל 2 · סכום זוויות עם יחס · בינוני
במשולש ABC היחס בין הזוויות הוא ∢A : ∢B : ∢C = 2 : 3 : 4
מצאו את זוויות המשולש
מצאו את זוויות המשולש
∢A : ∢B : ∢C = 2 : 3 : 4
נתון
∢A = 2k , ∢B = 3k , ∢C = 4k
כותבים יחס בעזרת k
2k + 3k + 4k = 180
סכום הזוויות במשולש
9k = 180
כינוס איברים דומים
k = 180 : 9 = 20
מחלקים את שני האגפים ב־9
∢A = 2 · 20 = 40
מציבים k = 20
∢B = 3 · 20 = 60
מציבים k = 20
∢C = 4 · 20 = 80
מציבים k = 20
בדיקה: 40 + 60 + 80 = 180 ✔
סכום הזוויות במשולש
✅ פתרון סופי: ∢A = 40 , ∢B = 60 , ∢C = 80
📐 כלל
יחס: אם a : b = 2 : 3 כותבים a = 2k , b = 3k
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
📐 כלל
כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
תרגיל 3 · זווית חיצונית ומשוואה · בינוני
D על המשך הצלע BC. נתון: ∢ACD = 130 , ∢A = 2x , ∢B = x + 10
מצאו את x ואת זוויות המשולש
מצאו את x ואת זוויות המשולש
∢ACD = 130 , ∢A = 2x , ∢B = x + 10
נתון
∢ACD = ∢A + ∢B
זווית חיצונית למשולש
130 = 2x + x + 10
מציבים את הנתונים
130 = 3x + 10
כינוס איברים דומים
130 − 10 = 3x ⟹ 120 = 3x
מעבירים את 10 לאגף השני
x = 120 : 3 = 40
מחלקים את שני האגפים ב־3
📐 משפט
זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה
∢ACD = ∢A + ∢B
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
תרגיל 3 · זווית חיצונית ומשוואה · בינוני · המשך
D על המשך הצלע BC. נתון: ∢ACD = 130 , ∢A = 2x , ∢B = x + 10
מצאו את x ואת זוויות המשולש
מצאו את x ואת זוויות המשולש
x = 120 : 3 = 40
מחלקים את שני האגפים ב־3
∢A = 2 · 40 = 80
מציבים x = 40
∢B = 40 + 10 = 50
מציבים x = 40
∢ACB = 180 − 130 = 50
זוויות צמודות
בדיקה: 80 + 50 + 50 = 180 ✔
סכום הזוויות במשולש
✅ פתרון סופי: x = 40 , ∢A = 80 , ∢B = 50 , ∢ACB = 50
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 משפט
סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות
∢1 + ∢2 = 180
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
תרגיל 4 · מורכב: מקבילים + משולש
D על המשך BC, והקרן CE מקבילה לצלע BA
נתון: ∢A = 55 , ∢B = 65. מצאו את ∢ACE , ∢ECD ואת ∢ACB
נתון: ∢A = 55 , ∢B = 65. מצאו את ∢ACE , ∢ECD ואת ∢ACB
CE ∥ BA , ∢A = 55 , ∢B = 65
נתון
∢ACE ו־∢A זוויות מתחלפות
בין BA ל־CE, משני צדי החותך AC
∢ACE = ∢A = 55
בין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות
∢ECD ו־∢B זוויות מתאימות
החותך הוא הישר BD
∢ECD = ∢B = 65
בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
∢ACD = 55 + 65 = 120
הקרן CE בתוך הזווית ∢ACD
∢ACB = 180 − 120 = 60
זוויות צמודות
בדיקה: 55 + 65 + 60 = 180 ✔
סכום הזוויות במשולש
💡 קיבלנו ∢ACD = ∢A + ∢B: זו עוד הוכחה למשפט הזווית החיצונית
✅ פתרון סופי: ∢ACE = 55 , ∢ECD = 65 , ∢ACB = 60
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתחלפות שוות
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
📐 כלל
אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
📐 משפט
סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות
∢1 + ∢2 = 180
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
📐 משפט
זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה
∢ACD = ∢A + ∢B
תרגיל 5 · מצולע משוכלל · בינוני
ABCDEF משושה משוכלל (6 צלעות שוות ו־6 זוויות שוות)
מצאו את סכום הזוויות ואת גודל כל זווית
מצאו את סכום הזוויות ואת גודל כל זווית
משושה: n = 6, משוכלל
נתון
מקדקוד A יוצאים 3 אלכסונים: 4 משולשים
n − 2 = 6 − 2 = 4
סכום הזוויות: (6 − 2) · 180
סכום הזוויות במצולע
= 4 · 180 = 720
חישוב
כל זווית: 720 : 6 = 120
במצולע משוכלל כל הזוויות שוות, מחלקים ב־6
✅ פתרון סופי: סכום הזוויות 720 מעלות, כל זווית 120 מעלות
📐 הגדרה
מצולע משוכלל: כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות
📐 משפט
סכום הזוויות הפנימיות במצולע קמור עם n צלעות
(n − 2) · 180
📌 מה למדנו היום
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
📐 משפט
זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה
∢ACD = ∢A + ∢B
📐 משפט
סכום הזוויות הפנימיות במצולע קמור עם n צלעות
(n − 2) · 180
💡 במשולש: כשחסרה זווית אחת – סכום 180. כשיש זווית חיצונית – היא שווה לסכום שתי הזוויות הרחוקות.
בשיעור הבא: משולש שווה שוקיים
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא